Есть интересный фильм «Двадцать одно» 2008 года выпуска. Там группа студентов под патронажем преподавателя математики обыгрывали казино в «Блэк Джек» (у нас эта игра известна под названием «двадцать одно» или «очко»). Картина примечательная, но есть в ней одна сцена, которая так же вызвала неподдельный интерес у большинства зрителей. Математическая загадка на тему теории вероятнестей:
Представьте, что вы находитесь в телеигре. Вы финалист и чтобы выиграть автомобиль осталось пройти последнее испытание. А именно — испытание удачи!
Перед вами 3 двери. За одной из них находится приз, за 2 остальными пусто. Вы наугад выбираете дверь №1. Ведущий открывает дверь №3 и показывает что за ней пусто. После этого он задаёт вопрос — вы всё ещё уверены в том что автомобиль находится за дверью №1 или хотите поменять своё решение?
Правильный ответ в данном случае — сменить дверь. Но вот беда, в фильме данное решение очень плохо объясняется. Да и сам пример не слишком нагляден, а потому объяснить по нему принцип парадокса Монти Холла будет весьма непросто. Предлагаю заменить пример!
Парадокс Монти Холла. Пример
Есть два человека — я и ты. Мы работаем в разных компаниях по добыче золота. Но ты работаешь в маленькой, которая смогла купить территорию с 1 участком, а я в большой — купившей территорию сразу с 3 участками. Шанс того что золото находится на твоей территории = 25%, а на моей = 75% соответственно (3 участка по 25% каждый).
Мы раскопали один участок и там золота не оказалось. После этого тебе пришло предложение перейти к нам и продолжить поиск золота на одном из 2 оставшихся участков. Ты согласишься или нет (и почему)?
Прежде чем дать ответ, давай посчитаем:
Что произошло с вероятностью найти золото на твоей территории после того как мы НЕ нашли золото на одном из своих участков? Она увеличилась? Нет. Вероятность того что золото находится на твоей территории осталась прежней = 25%. Также ничего не изменилось и для меня — вероятность осталась прежней = 75%.
Поменялось лишь количество участков. У меня их было 3, а стало 2. А это значит что 75% теперь нужно делить не на 3, а на 2:
75% / 2 участка = 37,5% (вероятность найти золото на каждом из моих 2 участков)
Вот и получается, что для тебя выгодней перейти ко мне на любой из оставшихся участков. Но что случится если мы раскопаем ещё один участок и не найдём золото? Возможно ты уже догадался:
На моей территории изначально было 3 участка. 2 из них оказались пустыми. Но вероятность найти золото осталась прежней и составляет 75%
Ты можешь задать резонный вопрос — почему общая вероятность найти золото не изменилась ни у меня, ни у тебя? Всё дело в том что количество участков осталось прежним! Да, я раскопал 2 из них, но при этом они никуда не делись — у меня всё ещё 3 участка, которые и являются теми 75%. Просто раньше вероятность 75% делилась на 3, а теперь делится на 1.
Парадокс Монти Холла. Главный принцип
Главным принципом применения парадокса Монти Холла является зависимость от изначальных условий. Говоря иначе, мы не рассматриваем каждый пример в отрыве друг от друга. В случае с участками, важно помнить что их всего 4 и это количество не меняется:
Твоя территория это 1/4, а моя 3/4
И данное соотношение сохраняется на всём протяжении решения задачи.
Если же мы будем рассматривать каждый пример как отдельную задачу, то получится следующее:
- Изначальные условия: 1/4 и 3/4
- После раскопки 1 участка: 1/3 и 2/3
- После раскопки 2 участков: 1/2 и 1/2
Замечательно!
Выходит если не менять своего решения, то твои изначальные шансы в 25% превратятся в 50%? А вот и не выходит. Математика работает иначе, а потому если не менять своего решения, то твои шансы ВСЕГДА будут равны изначальным. В данном случае 25%.
Математическое подтверждение
Если провести небольшие вычисления (их удобно делать на Phyton или Java), то получится интересный результат, который тебя удивит!
Изначальные данные
- Дверь 1, Дверь 2, Дверь 3
- Рандомайзер расположения объекта за одной из 3 дверей
- Рандомайзер выбора первой двери игроком
Поведение игрока
- Игрок выбирает дверь и не меняет своего решения
- Игрок выбирает дверь и меняет решение
Поведение ведущего
- После того как игрок сделал свой первый выбор, ведущий должен открыть одну дверь, которая должна соответствовать 2 условиям:
1. Дверь должна быть пустой
2. Дверь НЕ должна быть той, что выбрал игрок
И финальный штрих — для полноты картины генерируем по 1000 таких ситуаций на каждое из 2 поведений игрока.
А вот и результаты
- В случае когда игрок не менял своего решения, процент выигрыша составил 34%
То есть 1/3, что равно изначальному шансу на победу - В случае когда игрок изменил решение, процент выигрыша составил 66%
Вывод
Очень часто в жизни нам приходится принимать решения — делать выбор. И чтобы повысить процент положительных исходов с 33% до 66% необходимо рассматривать задачи комплексно! Информация крайне важна и отметать её из-за своей лени, невнимательности или необразованности — чревато неприятными последствиями.
Обращай внимание на изначальные условия, отслеживай динамику и никогда не бойся менять своего решения, если это обосновано твоими расчётами, а не эмоциями. В крайнем случае применяй парадокс Монти Холла.
